I) CINEMÁTICA ESCALAR

A) MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME(MRU)

s = s_o + v.t

B) MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO(MRUV)

v = v_o +a.t

s = s_o + v_o.t + (1/2)at²

v² = v_o² +2a(s - s_o)

C) LANÇAMENTO VERTICAL NO VÁCUO ( eixo y orientado para cima)

c1) origem no solo: se a partícula for lançada do solo temos s_o = 0, do topo de um edifício s_o > 0, abaixo do solo s_o < 0.

c2) no eixo y orientado para cima → temos como consequência:

na subida: g < 0, v > 0 e v_O > 0

na descida:  g < 0, v <0 e v_o < 0.

c3) Equações (sempre  a = -g)

v = v_o +a.t

s = s_o + v_o.t + (1/2)at²

v² = v_o² +2a(s - s_o)

D) QUEDA LIVRE ( eixo y orientado para cima)

d1) origem no solo: s_o > 0

d2) no eixo y orientado para cima temos: a = -g, v_o = 0, v < 0)

d3) equações:

v = a.t

s = s_o + (1/2)at²

v² = 2a(s - s_o)

II) CINEMÁTICA VETORIAL

A aceleração de uma partícula é a taxa de variação de velocidade no tempo. A velocidade pode variar em módulo, diração ou em ambos. Quando a velocidade varia em módulo temo a aceleração tangencial. Quando a velocidade varia em direção temos a aceleração centrípetra. A aceleração resultante é a soma vetorial da aceleração tangencial com a aceleração centrípetra. Em módulo temos: a_r² = a_t² + a_cp²

A) LANÇAMENTO OBLÍQUO ( eixo y orientado para cima)

a1) componentes da velocidade inicial

v_ox = v_o.cosθ

v_oy = v_o.sensθ

 a2) Equações Gerais

x = x_o + v_ox.t

v_y = v_oy -g.t

y = y_o + v_oy.t - (1/2)gt²

v_y² = v_oy² -2g(y - y_o)

a3) Equações particulares: para o caso onde a particula é lançada do solo e cai no solo.

altura maxima: H_max = v_o²sen²θ/2g

alcance: x = v_o²sen(2θ)/g

a4) Velocidade

v² = v_ox² + v_y²

B) LANÇAMENTO HORIZONTAL ( eixo y orientado para cima)

b1) componentes da velocidade inicial

v_ox = v_o

v_oy = 0

 b2) Equações Gerais

x =  v_o.t

v_y =  -g.t

y = y_o  - (1/2)gt²

v_y² =  -2g(y - y_o)

b3) Velocidade

v² = v_o² + v_y²  

C) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

c1) equações básicas

s = s_o + v.t

θ = θ_o + ω.t

a_cp = v²/R  ( aceleração centrípetra)

v = 2πrf ( velocidade linear)

ω = 2πf (velocidade angular)

v = ωr  (relação entre as velocidades linear e angular)

T = f ^-1 ( relação entre período e frequência)

c2) sistema de poliias

quando giram em eixos diferentes: v₁ = v₂

quando giram em  torno do mesmo eixo: ω₁ = ω₂

D) MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO( MCUV)

d1) Equações angulares

ω = ω_o + α.t

θ = θ_o + ω_ot + (1/2)αt²

ω² + ω_o² + 2α(θ - θ_o)

 d2) equações lineares

v = v_o + a.t

s = s_o + v_o.t + (1/2)at²

v² + v_o² + 2a(s - s_o)

DINÂMICA

 Resalvando-se o estudo de cinemática, todo o estudo de mecânica fundamenta-se em dois alicerses: as leis de Newton e as leis de conservação (a conservação da energia e a conservação da quantidade de movimento linear e angular). Tudo que vier além disto é apenas acessório ou consequência.

I) AS LEIS DE NEWTON

1ª LEI DE NEWTON - quando a força resultante que atua em uma partícula é nula ela estará em repouso ou em movimento retilineo uniforme(MRU).

a) Equíbrio translacional ou repouso

(F_1X + F_2X + F_3X +...+F_nx)i + (F_1Y + F_2Y + F_3Y + ...+F_nx)j = 0

F_1X + F_2X + F_3X +...+F_nx = 0  → ΣR_x = 0  ( aplicada na direção x)

F_1Y + F_2Y + F_3Y + ...+F_nx = 0   → ΣR_y= 0  ( aplicada na direção y)

b) equilíbrio rotacional ( T é o torque das forças externas)

T₁ + T₂ + T₃ + ......+ T_{n ^{= 0}}

2ª LEI DE NEWTON - a força resultante que atua em uma partícula é igual ao produto da massa pela sua aceleração.

a) Forma translacional

F_r = m.a

Se decompor as forças que atuam na partícula nos eixos x e y temos:

(F_1X + F_2X + F_3X +...+F_nx)i + (F_1Y + F_2Y + F_3Y + ...+F_nx)j = ma_xi + ma_yj

F_1X + F_2X + F_3X +...+F_nx = ma_x    ( aplicada na direção x)

F_1Y + F_2Y + F_3Y + ...+F_nx = ma_y    ( aplicada na direção y)

b) Forma rotacional ( T_n = F_n. Ψ é o torque das forças externas e Ψ é o braço da força)

T₁ + T₂ + T₃ + ......+ T_n ⁼ I α,   onde I é o momento de inércia

OBS: braço de uma força é a distância perpendicular do pòlo à linha de açao da força.

3ª LEI DE NEWTON - para cada força de ação que atua em um corpo há uma reação que tem módulo e direção iguais e sentidos opostos.

A ação e reação atuam em corpos diferentes simultaneamente e por isso nunca se cancelam.

II) TRABALHO E ENERGIA

A) TRABALHO:

ζ = F.ΔS.COSθ      ( trabalho de uma força constante)

ζ_p = ±mgh           ( trabalho da força de gravidade - peso)

ζ_fel = ±(1/2)Kx²     (trabalho da força elástica)

ζ_atrito = - μ.N.Δs     ( trabalho da força de atrito)

ζ = A   ( nos diagramas F x d a áre da regiao limitada pelo gráfico e pelo eixo das absciissas é numericamente igual ao trabalho)

B) ENERGIA

E_c = (1/2)mv²   ( energia cinética de translação)

E_p = mgh         ( energia potencial gravitacional)

E_el = (1/2)kx²   (energia potencial elástica)

E = E_c + E_p      ( energia mecânica)

 C) A CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MEÃNICA - quando sobre a particula atua somente forças conservativas ou forças não conservativas que não realizam trabalho, então a variação de energia mecãnica é nula.

 ΔE = 0

E_f - E_i = 0

E_f = E_i

E_cf + ΣE_pf = E_ci + ΣE_pi

(1/2)mv_o²  +mgh₁ +(1/2)k₁x₁²  =  (1/2)mv²  + mgh₂ + (1/2)k₂x₂²

D) CONSERVAÇÃO DA ENERGIA EM GERAL - mesmo em situações onde a energia mecânica não se conserva mais, podemos considerar a energia de forma mais abrangente. Neste contexto podemos considerar que a energia ainda se conserva. Isto é quando falamos da energia em geral. Dada pelos teoremas abaixo.

 d1) Terema da variação da energia cinética - a variação de energia cinética de translação de uma partícula entre dois pontos é igual a soma dos trabalhos que as forças conservativas e não conservativas realizam sobre a partícula.

ΔE_c  = ζ_NC + ζ_C

ΔE_c = _⁽ζ_at +  ζ_f1  ζ_f2 + .....+ ζ_n) + (ζ_peso +   ζ_{f,elstástica}  +   ζ_f,eletrica)

E_cf - E_ci = (ζ_at +  ζ_f1  ζ_f2 + .....+ ζ_n) + (ζ_peso +   ζ_{f,elstástica}  +   ζ_f,eletrica)

(1/2)mv² - (1/2)mv_o² = (ζ_at +  ζ_f1  ζ_f2 + .....+ ζ_n) + (ζ_peso +   ζ_{f,elstástica}  +   ζ_f,eletrica)

d2) Teorema da variação de energia mecânica - a variação de energia mecânica de uma partícula que se move entre dois pontos é igual a soma dos trabalhos das forças não coservativas.

ΔE = ζ_NC

E_f - E_i = ζ_at +ζ₁ +ζ₂ ....+ ζ_n

(E_cf + ΣE_pf) - (E_ci + ΣE_pi) = ζ_far +ζ_f1 +ζ_f2 ....+ ζ_fn

[(1/2)mv_o² + mgh₁ + (1/2)k₁x₁²)] - [(1/2)mv² + mgh₂ + (1/2)k₂x₂² ] = ζ_fat +ζ_r1 +ζ_f2 ....+ ζ_fn

III) QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR E IMPULSO DE UMA FORÇA

A) QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR: por ser uma grandeza vetorial ele é caracterizado por módulo, direção e sentido.

Módulo:    Q = m . v

Direção: a mesma da velocidade

Sentido: o mesmo da velocidade

B) IMPULSO: também grandeza vetorial.

Módulo:  I = F.Δt

Direção: a mesma de F

Sentido: o mesmo de F

C) TEOREMA DO IMPULSO: a variação da quantidade de movimento de uma partícula é igual ao impulso da força atuante nela.

 I = ΔQ

 D) A CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ( MOMENTO LINEAR)

Quando não há forças externas na direção do movimento das parículas or a interação entre ela s ocorre em um intervalo de tempo muito curto, então o momento linear da partícula conserva-se nesta direção. As principáis interações entre partículas de um sistema são choques, disparos, empurrões, explosões, puxões,....

Q_f(sistema) - Q_i(sistema) = F_ext.Δt = 0

Q_i(sistema) = Q_f(siistema)

m₁v₁ + m₂v₂ + m₃V₃ +.....+m_nv_n = m₁v_1^' + m₂v_2^' + m₃v₃^' + ....+m_nv_n^'              (soma vetorial para movimentos retilíneos)

Se o movimento for no plano xy então a equação da conservação do momento linear será da forma abaixo.

(v_1x + v_2x + v_3x+ ..+v_nx)i + (v_1y+ v_2y+ v_3y+....+v_ny)j =  (v_2x^' + v_2x^' + v_3x^'+...+v_nx)i  + (v_2y^' + v_2y^' + v_3y^'+...+v_ny)j

E) CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR NOS CHOQUES

e1) Choques elásticos - são os choques onde a energia cinética do sistema conserva-se.

v₁^' = (2m₂.v₂ / (m₁ + m₂) + (m₁ - m₂).v₁ / (m₁ + m₂)

v₂^' = (2m₁.v₁ / (m₁ + m₂) + (m₂ - m₁).v₂ / (m₁ + m₂)

v₁ = velocidade inicial da partícula 1                          v₂ = velocidade inicial da particula 2             

v₁^' = velocidade final da partícula 1                           v₂^' = velocidade final da partícula 2

m₁ = massa da partícula 1                                       m₂ = massa da partícula 2

e2) Choque inelásticos - são os choques onde há perda de energia cinética do sistema e as partículas não se separam após a colisão

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂).v^'

e3) choques parcialmente elásticos - são os choques onde há perda de energia cinética do sistema e as partículas separam-se após estas colisões. As duas equações abaixo em geral são usadas porque teremos duas variáveis.

m₁v₁ + m₂v₂ + m₃V₃ +.....+m_nv_n = m₁v_1^' + m₂v_2^' + m₃v₃^' + ....+m_nv_n^'     e   coeficiente de restituição = v_rd / v_ra

IV) GRAVITAÇÃO

1) Lei da gravitação universal - todos os corpos atraem-se uns para os outros segundo a equação abaixo.

F = G m₁.m₂d ^-2

 2) As leis de Keppler:

1ª Lei - os plenetas descrevem órbitas elipticas em torno das respectivas estrelas com esta em um dos focos.

2ª Lei - o segmento de reta que une a estrela ao planeta varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais.

3ª lei - a razão entre  o período ao quadrado e o raio médio ao cubo é igual para todas as estrelas que giram em torno da mesma estrela.

T²/R³ = 4π²/GM

3) aceleração da gravidade

g = GM/r²   ,   ( r = R + h)

4) Velocidade de um satélite ou planeta em órbita considerada circular

v_o = √GM/r   onde r é o raio da órbita (r = R + h)

5) Velocidade de escape - é a velocidade suficiente para um um corpo chegar ao infinito com energia nula.

v_e = √2GM/r²

6) energia total de um astro em órbita circular

E = - (1/2).GMm/r   ,    (r = R +h)